Question

14．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
（1）試說明：△COD是等邊三角形；
（2）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是以O(shè)D為底邊的等腰三角形？
（4）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CO=CD，∠OCD=60°，可判斷△COD是等邊三角形；
（2）由（1）可知∠COD=60°，當(dāng)α=150°時(shí)，∠ADO=∠ADC-∠CDO，可判斷△AOD為直角三角形；
（3）當(dāng)△AOD是以O(shè)D為底邊的等腰三角形時(shí)，∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°，根據(jù)∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，列方程求α；
（4）有一定的開放性，要找到變化中的不變量才能有效解決問題．

解答 解：（1）∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，
∴OC=OD，
∴△COD是等邊三角形；

（2）△AOD為直角三角形；
∵△COD是等邊三角形；
∴∠ODC=60°，
∵∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形；

（3）α=125°．
理由：∵△AOD是以O(shè)D為底邊的等腰三角形，
∴∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°；
∵110°+α+（60°+∠AOD）=360°，
∴110°+α+（60°+α-60°）=360°，
解得α=125°；

（4）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO；
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∵190°-α=50°
∴α=140°．
綜上所述：當(dāng)α的度數(shù)為125°，或110°，或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定，多邊形內(nèi)角和，等腰三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．