Question

25、將編號為1，2，3，4，5的五個小球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中，每個盒子只放入一個，
①一共有多少種不同的放法？
②若編號為1的球恰好放在了1號盒子中，共有多少種不同的放法？
③若至少有一個球放入了同號的盒子中（即對號放入），共有多少種不同的放法？

Answer 1

分析：①先放入，有5種不同的的方法，再放第二個球，這時以4種不同的放法，依此類推，可以求出不同的放法，
②一個小球固定1號盒，其余的四個球隨意放，它們依次有4、3、2、1種不同的放法，于是可以求出不同的放法，
③解法一：在這120種放法中，排除掉全部不對號的放法，剩下的就是至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數(shù)，解法二：從五個球中選定一個球，有5種選法，將它放入同號的盒子中（如將1號球放入1號盒子），其余的四個球隨意放，有24種放法，這樣共有5×24=120種放法，然后去掉重復(fù)的放法的種數(shù)就是至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數(shù)．

解答：解：①將第一個球先放入，有5種不同的的方法，再放第二個球，這時以4種不同的放法，依此類推，放入第三、四、五個球，分別有3、2、1種放法，所以總共有5×4×3×2×1=120種不同的放法．
②將1號球放在1號盒子中，其余的四個球隨意放，它們依次有4、3、2、1種不同的放法，這樣共有4×3×2×1=24種不同的放法．
③（解法一）
在這120種放法中，排除掉全部不對號的放法，剩下的就是至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數(shù)．
為研究全部不對號的放法種數(shù)的計算法，設(shè)A₁為只有一個球放入一個盒子，且不對號的放法種數(shù)，顯然A₁=0，A₂為只有二個球放入二個盒子，且不對號的放法種數(shù)，∴A₂=1，A₃為只有三個球放入三個盒子，且都不對號的放法種數(shù)，A₃=2，，A_n為有n個球放入n個盒子，且都不對號的放法種數(shù)．
下面我們研究A_n+1的計算方法，考慮它與A_n及A_n-1的關(guān)系，
如果現(xiàn)在有n個球已經(jīng)按全部不對號的方法放好，種數(shù)為A_n．取其中的任意一種，將第n+1個球和第n+1個盒子拿來，將前面n個盒子中的任一盒子（如第m個盒子）中的球（肯定不是編號為m的球）放入第n+1個盒子，將第n+1個球放入剛才空出來的盒子，這樣的放法都是合理的．共有nA_n種不同的放法．
但是，在剛才的操作中，忽略了編號為m的球放入第n+1個盒子中的情況，即還有這樣一種情況，編號為m的球放入第n+1個盒子中，且編號為n+1的球放入第m個盒子中，其余的n-1個球也都不對號．于是又有了nA_n-1種情況是合理的．
綜上所述得A_n+1=nA_n+nA_n-1=n（A_n+A_n-1）．
由A₁=0，A₂=1，得A₃=2（1+0）=2，A₄=3（2+1）=9，A₅=4（9+2）=44．
所以至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數(shù)為全部放法的種數(shù)減去五個球都不對號的放法種數(shù)，即120-44=76種．
（解法二）
從五個球中選定一個球，有5種選法，將它放入同號的盒子中（如將1號球放入1號盒子），其余的四個球隨意放，有24種放法，這樣共有5×24=120種放法．
但這些放法中有許多種放法是重復(fù)的，如將兩個球放入同號的盒子中（例如1號球和2號球分別放入1號盒子、2號盒子中）的放法就計算了兩次，這樣從總數(shù)中應(yīng)減去兩個球放入同號的盒子中的情況，得120-C₅²P₃³=120-60（種）．
很明顯，這樣的計算中，又使得將三個球放入同號的盒子中（例如1號球、2號球和3號球分別放入1號盒子、2號盒子和3號盒子中）的放法少計算了一次，于是前面的式子中又要加入C₅³P₂²=20種，
再計算四個球、五個球放入同號盒子的情況，于是再減去四個球放入同號盒子中的情況C₅⁴P₁¹，最后加上五個球放入同號中的情況C₅⁵．
整個式子為120-C₅²P₃³+C₅³P₂²-C₅⁴P₁¹+C₅⁵=120-60+20-5+1=76（種）．

點評：本題主要考查計數(shù)方法的知識點，解答本題的關(guān)鍵是掌握計數(shù)原理，特別是第三問的解法不止一種，請同學(xué)們熟練掌握．