Question

【題目】如圖，拋物線W的圖象與x軸交于A、O兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B（﹣1，﹣1）．

（1）求拋物線W的表達(dá)式；

（2）將拋物線W繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線V，使拋物線V的頂點(diǎn)為E，試通過計(jì)算判斷拋物線V是否過點(diǎn)B；

（3）在拋物線W或V的圖象上是否存在點(diǎn)D，使S△EBD＝S△EBO？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x+1）2﹣1；（2）拋物線V是不經(jīng)過點(diǎn)B；（3）在拋物線W或V的圖象上存在點(diǎn)D，使S△EBD＝S△EBO，D的坐標(biāo)為（﹣3，3）或（﹣4，0）或（﹣1，﹣3）．

【解析】

（1）把拋物線的解析式設(shè)成頂點(diǎn)式，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，便可求得解；

（2）根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)求得E點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)變化后的拋物線的形狀和大小與原拋物線相同，開口方向相反，得新拋物線的解析式的二次項(xiàng)系數(shù)是原拋物線解析式的二次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)，進(jìn)而新拋物線的解析式，再驗(yàn)證是否經(jīng)過B點(diǎn)便可；

（3）存在點(diǎn)D，過O點(diǎn)作BE的平行線，此平行線與拋物線W的另一交點(diǎn)便是D點(diǎn)，過(-4，0)作BE的平行線，此平行線與拋物線V的交點(diǎn)便是D點(diǎn)，求出這些交點(diǎn)的坐標(biāo)便可．

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為B(﹣1，﹣1)，

∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x+1)2﹣1，

把O(0，0)代入，得0＝a﹣1，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為：y＝(x+1)2﹣1；

（2）令y＝0，有y＝(x+1)2﹣1＝0，

解得，x＝0或﹣2，

∴A(﹣2，0)，

∵將拋物線W繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線V，使拋物線V的頂點(diǎn)為E，B(﹣1，﹣1)，

∴E(﹣3，1)，

設(shè)拋物線V的解析式為：y＝a'(x+3)2+1（a'≠0），

∵將拋物線W繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線V，拋物線W的解析式為：y＝(x+1)2﹣1，

∴a'＝﹣1，

∴拋物線V的解析式為：y＝﹣(x+3)2+1，

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣4+1＝﹣3≠﹣1，

∴拋物線V是不經(jīng)過點(diǎn)B；

（3）設(shè)直線BE的解析式為：y＝kx+b（k≠0），則

，

解得，

∴直線BE的解析式為：y＝﹣x﹣2，

過O作OD//BE，與拋物線W交于D點(diǎn)，如圖1，則S△OBE＝S△DBE，

設(shè)OD的解析式為：y＝﹣x+m，

把O(0，0)代入得，m＝0，

∴OD的解析式為：y＝﹣x，

聯(lián)立方程組，

解得或，

∴D(﹣3，3)；

過拋物線V與x軸的交點(diǎn)F(﹣4，0)作FG//BE，與拋物線V交于另一點(diǎn)G，如圖2，

∵OA＝AF＝2，

∴S△OAE＝S△AEF，S△OAB＝S△ABF，

∴S△OBE＝S△BEF＝S△BEG，

設(shè)直線FG的解析式為：y＝﹣x+n，

把F(﹣4，0)代入得n＝﹣4，

∴直線FG的解析式為：y＝﹣x﹣4，

聯(lián)立方程組，

解得或，

∴G(﹣1，﹣3)，

當(dāng)D點(diǎn)與F或G重合時(shí)，S△EBD＝S△EBO，

此時(shí)D(﹣4，0)或(﹣1，﹣3)，

綜上，在拋物線W或V的圖象上存在點(diǎn)D，使S△EBD＝S△EBO，D的坐標(biāo)為(﹣3，3)或(﹣4，0)或(﹣1，﹣3)．