Question

【題目】二次函數(shù)y=的圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．

（1）求出m的值并求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO（點(diǎn)P不與A、O重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長有最大值，求出這個(gè)最大值；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣2，A（﹣3，0），B（1，0）；（2）P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為；（3）存在，見解析.

【解析】

（1）利用二次函數(shù)的定義求出m的知，再令y=0即可得出點(diǎn)A，B坐標(biāo)；
（2）設(shè)PA=t（-3＜t＜0），則OP=3-t，如圖1，證明△DAP∽△POE，利用相似比得到OE=- ，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（3）討論：當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，如圖2，DE交AB于G點(diǎn)，證明△DAP≌△POE得到PO=AD=4，則PA=1，OE=1，再利用平行線分線段成比例定理計(jì)算出AG= ，則計(jì)算S△DAG即可得到此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，如圖3，DE交AB于G點(diǎn)，DP與BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，則PO=AD=4，PA=7，OE=7，再利用平行線分線段成比例定理計(jì)算出OG和BQ，然后計(jì)算S四邊形DGBQ得到此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積．當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E和和點(diǎn)O重合，此時(shí)，△PED不是等腰三角形．

（1）∵二次函數(shù)y=（m﹣1）﹣6x+9，

∴m2+m=2且m﹣1≠0，

∴m=﹣2，

∴二次函數(shù)解析式為y=﹣3x2﹣6x+9，

令y=0，

∴0=﹣3x2﹣6x+9，

∴x=1或x=﹣3，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（2）設(shè)PA=t（﹣3＜t＜0），則OP=3﹣t，

∵DP⊥PE，

∴∠DPA=∠PEO，

∴△DAP∽△POE，

∴，即，

∴OE=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，

∴當(dāng)t=時(shí)，OE有最大值，

即P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為；

（3）存在．

當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，如圖1，DE交AB于G點(diǎn)，

∵PD=PE，∠DPE=90°，

∴△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=1，OE=1，

∵AD∥OE，

∴=4，

∴AG=，

∴S△DAG=××4=，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為；當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，如圖2，DE交AB于G點(diǎn)，DP與BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=7，OE=7，

∵AD∥OE，

∴，

∴OG=，

同理可得BQ=，

∴S四邊形DGBQ=×（+1）×4+×4×=

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為．

當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合，此時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)O重合，∴DP≠OP，此時(shí)，△PDE不是等腰三角形．