Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，且二次函數的最小值為-4，
（1）求二次函數的解析式；
（2）若M（m，n）（0＜m＜3）為此拋物線上的一個動點，連接MC、MB，試求當m為何值時，△MBC的面積最大？并求出這個最大值；
（3）已知P為拋物線上的任意一點，過點P作PQ∥x軸交拋物線于另一點Q（點P在點Q的左側），分別作PE⊥x軸，QF⊥x軸，垂足分別為E、F，若四邊形PQFE為正方形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A、B的坐標求出對稱軸解析式，從而得到頂點坐標，然后設頂點式解析式，把點A的坐標代入計算即可得解；
（2）根據點B、C的坐標求出OB、OC的長度，利用勾股定理求出BC，再求出直線BC的解析式，根據三角形的面積，當平行于BC的直線與拋物線只有一個交點時△MBC的面積最大，再根據平行直線的解析式的k值相等設出平行線的解析式，然后與拋物線聯立消掉y得到關于x的一元二次方程，然后利用根的判別式△=0求出直線的解析式，再根據等腰直角三角形的性質求出點M到BC的距離，然后求解即可；
（3）根據拋物線的解析式設點P的坐標為（x，x²-2x-3），根據拋物線的對稱性以及點P在點Q的左側，表示出EF=2（1-x），然后根據正方形的四條邊都相等列式，再分①x＜-1時點P的縱坐標是正數，②-1＜x＜1時，點P的縱坐標是負數兩種情況去掉絕對值號，解方程求解即可．
解答：解：（1）∵二次函數經過點A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x==1，
∵二次函數的最小值為-4，
∴頂點坐標為（1，-4），
設頂點式解析式為y=a（x-1）²-4，
則a（-1-1）²-4=0，
解得a=1，
所以，二次函數解析式為y=（x-1）²-4=x²-2x-3，即y=x²-2x-3；

（2）令x=0，則y=-3，
∴點C坐標為（0，-3），
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
根據勾股定理，BC==3，
不難求出，直線BC的解析式為y=x-3，
根據三角形的面積，當平行于直線BC直線與拋物線只有一個交點時，點M到BC的距離最大，此時，△MBC的面積最大，
設過點M的直線為y=x+e，
聯立，
整理得，x²-3x-3-e=0，
△=b²-4ac=9+4（3+e）=0，
解得e=-，
此時，x₁+x₂=2m=-=3，
解得m=，
n=-=-，
所以，點M的坐標為（，-），
點M到直線BC的距離為|-3-（-）|×=，
S_△MBC=×3×=；

（3）設點P的坐標為（x，x²-2x-3），
∵點P在點Q的左側，
∴EF=2（1-x），
∵四邊形PQFE為正方形，
∴|x²-2x-3|=2（1-x），
根據函數圖象，①x＜-1時，x²-2x-3=2（1-x），
整理得，x²=5，
解得x₁=-，x₂=（舍去），
x²-2x-3=（-）²-2×（-）-3=2+2，
所以，點P的坐標為（-，2+2）；
②-1＜x＜1時，-（x²-2x-3）=2（1-x），
整理得，x²-4x-1=0，
解得x₁=2-，x₂=2+（舍去），
x²-2x-3=（2-）²-2×（2-）-3=2-2，
所以點P的坐標為（2-，2-2）；
綜上所述，存在點P（-，2+2）或（2-，2-2），使四邊形PQFE為正方形．
點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，聯立兩函數解析式求交點坐標，等腰直角三角形的性質，正方形的四條邊都相等的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，綜合性較強，難度較大，（1）先求出頂點坐標，再利用頂點式解析式求解更加簡便，（2）注意兩平行直線解析式的k值相等的利用，（3）要分點P的縱坐標是正數與負數兩種情況討論求解．