Question

如圖，OA、OC是⊙O的半徑，OA=1，且OC⊥OA，點(diǎn)D在弧AC上，弧AD=2弧CD，在OC求一點(diǎn)P，使PA+PD最小，并求這個(gè)最小值．

Answer 1

解：延長(zhǎng)AO交⊙O于B，連接BD交OC于點(diǎn)P，
則點(diǎn)P為所求，
連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵OC⊥OA，弧AD=2弧CD，
∴∠ABD=30°，
∵OA=1，
∴AB=2，
∴BD=cos30°×AB=，
即PA+PD最小值為．
分析：延長(zhǎng)AO交⊙O于B，連接BD交OC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．先找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，連接BD與OC的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．由于OA⊥OC，AB是直徑，所以O(shè)C是AB的垂直平分線，故有PA=PB，那么求PA+PD就是求BD的長(zhǎng)，在Rt△ABD中，利用三角函數(shù)值可求BD，即PA+PD的值．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了直徑所對(duì)的圓周角等于90°、同圓中同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半、三角函數(shù)值．