Question

（2007•玉溪）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標(biāo)為（3，4），B點在軸y上．
（1）求m的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E，設(shè)線段PE的長為h，點P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四形？若存在，請求出此時P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線y=x+m過點A，將A點坐標(biāo)直接代入解析式即可求得m的值；設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，將（3，4）代入即可；
（2）由于P和E的橫坐標(biāo)相同，將P點橫坐標(biāo)代入直線和拋物線解析式，可得其縱坐標(biāo)表達(dá)式，h即為二者之差；根據(jù)P、E在二者之間，所以可知x的取值范圍是0＜x＜3；
（3）先假設(shè)存在點P，根據(jù)四邊形DCEP是平行四形的條件進(jìn)行推理，若能求出P點坐標(biāo)，則證明存在點P，否則P點不存在．
解答：解：（1）∵點A（3，4）在直線y=x+m上，
∴4=3+m．（1分）
∴m=1．（2分）
設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x-1）²．（3分）
∵點A（3，4）在二次函數(shù)y=a（x-1）²的圖象上，
∴4=a（3-1）²，
∴a=1．（4分）
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=（x-1）²．
即y=x²-2x+1．（5分）

（2）設(shè)P、E兩點的縱坐標(biāo)分別為y_P和y_E．
∴PE=h=y_P-y_E（6分）
=（x+1）-（x²-2x+1）（7分）
=-x²+3x．（8分）
即h=-x²+3x（0＜x＜3）．（9分）

（3）存在．（10分）
解法1：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有PE=DC．（11分）
∵點D在直線y=x+1上，
∴點D的坐標(biāo)為（1，2），
∴-x²+3x=2．
即x²-3x+2=0．（12分）
解之，得x₁=2，x₂=1（不合題意，舍去）（13分）
∴當(dāng)P點的坐標(biāo)為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形．（14分）
解法2：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有BP∥CE．（11分）
設(shè)直線CE的函數(shù)關(guān)系式為y=x+b．
∵直線CE經(jīng)過點C（1，0），
∴0=1+b，
∴b=-1．
∴直線CE的函數(shù)關(guān)系式為y=x-1．
∴
得x²-3x+2=0．（12分）
解之，得x₁=2，x₂=1（不合題意，舍去）
∴當(dāng)P點的坐標(biāo)為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形．
點評：此題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，結(jié)合圖形有利于解答；
（3）是一道存在性問題，有一定的開放性，需要先假設(shè)點P存在，然后進(jìn)行驗證計算．