Question

如圖，直線y=

k

3

x-k分別與y軸、x軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，且AB=5，一個圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓，以0.8個單位/秒的速度向y軸正方向運(yùn)動，設(shè)此動圓圓心離開坐標(biāo)原點(diǎn)的時間為t（t≥0）（秒）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，t為何值時，動圓與直線AB相切；
（3）如圖2，若在圓開始運(yùn)動的同時，一動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向以1個單位/秒的速度運(yùn)動，設(shè)t秒時點(diǎn)P到動圓圓心C的距離為s，求s與t的關(guān)系式；
（4）在（3）中，動點(diǎn)P自剛接觸圓面起，經(jīng)多長時間后離開了圓面？

Answer 1

分析：（1）在函數(shù)解析式中，令y=0，解得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)圓與AB相切時△AC₁D₁∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值；
（3）本題應(yīng)分t=0，0＜t＜5，t=5，t＞5幾種情況進(jìn)行討論；
（4）當(dāng)動點(diǎn)P與圓面剛接觸時，或剛離開時，s=1．

解答：解：（1）由

k

3

x-k=0，k≠0，得x=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∵AB=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
∴直線AB的解析式為y=-

4

3

x+4；

（2）設(shè)t秒時圓與AB相切，此時圓心為C₁或C₂，切點(diǎn)為D₁，D₂，如圖所示，連接C₁D₁，C₂D₂，
由△AC₁D₁∽△ABO，得

AC1

AB

=

C1D1

OB

，
即：

4-0.8t

5

=

1

3

，
∴t=

35

12

，
同理由△AC₂D₂∽△ABO，
可求得t=

85

12

，
∴當(dāng)t=

35

12

秒或

85

12

秒時，圓與直線AB相切；

（3）如圖2，①當(dāng)t=0時，s=3，
②當(dāng)0＜t＜5時，設(shè)t秒時動圓圓心為C，連接PC．

OC

BP

=

0.8t

t

=

4

5

=

AO

AB

，
∴PC∥OB，
∴

PC

OB

=

AC

AO

，即

s

3

=

4-0.8t

4

，
∴s=-

3

5

t+3，
③當(dāng)t=5時，s=0，
④當(dāng)t＞5時，設(shè)動圓圓心為C₁，動點(diǎn)P在P₁處，連接C₁P₁．
由②同理可知P₁C₁∥OB．
∴

s

3

=

0.8t-4

4

，即s=

3

5

t-3，
又當(dāng)t=0或5時，②中s=3或0，
所以綜上所述：
當(dāng)0≤t≤5時，s=-

3

5

t+3；
當(dāng)t＞5時，s=

3

5

t-3；

（4）當(dāng)動點(diǎn)P與圓面剛接觸時，或剛離開時，s=1，
當(dāng)s=1時，由s=-

3

5

t+3，代入得t=

10

3

；
由s=

3

5

t-3，代入得t=

20

3

．

20

3

-

10

3

=

10

3

（秒），
∴動點(diǎn)P自剛接觸圓面起，經(jīng)

10

3

秒后離開了圓面．

點(diǎn)評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及直線與圓的位置關(guān)系．