Question

20．已知，如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠C=30°，AD=3．求△ABC的周長．

Answer 1

分析 先在Rt△ABD中根據(jù)∠B的正弦可計算出AB=$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，再利用勾股定理可計算出BD=3，然后在Rt△ADC中，利用∠C的正弦可計算出AC=6，則根據(jù)勾股定理可計算出CD=3$\sqrt{3}$，然后根據(jù)三角形周長的定義求解．

解答 解：在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{3}^{2}}$=3，
在Rt△ADC中，∵sinC=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC=$\frac{3}{sin30°}$=6，
∴CD=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BC=BD+CD=3+3$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=3$\sqrt{2}$+6+3+3$\sqrt{3}$=3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$+9．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決本題的關(guān)鍵是靈活應用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．