Question

5．有甲、乙兩塊玉米試驗(yàn)田，甲試驗(yàn)田是邊長為（a-1）米的正方形土地（a＞1），如圖1，玉米的總產(chǎn)量為90千克．乙試驗(yàn)田也是一塊正方形的土地，邊長為a米，但在其一角有一邊長為1米的正方形蓄水池，如圖2，乙的玉米總產(chǎn)量為110千克．
（1）若甲、乙兩塊試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量相等，求a的值；
（2）若甲、乙兩塊試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量不相等，那么那塊試驗(yàn)田單位面積產(chǎn)量高，為什么？

Answer 1

分析 （1）單位面積產(chǎn)量=總產(chǎn)量÷面積；
（2）根據(jù)題意表示出甲乙兩農(nóng)科所的單位產(chǎn)量，比較即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）依題意得：$\frac{90}{（a-1）^{2}}$=$\frac{110}{{a}^{2}-1}$，
整理，得（a-1）（a-10）=0，
解得a₁=1，a₂=10；
經(jīng)檢驗(yàn)a₁=1不合題意，舍去．
答：若甲、乙兩塊試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量相等，求a的值是10；

（2）甲的單位面積產(chǎn)量為$\frac{90}{（a-1）^{2}}$，乙的面積產(chǎn)量為$\frac{110}{{a}^{2}-1}$，
所以$\frac{90}{（a-1）^{2}}$-$\frac{110}{{a}^{2}-1}$=-$\frac{20（a-1）（a-10）}{（a+1）^{2}（{a}^{2}-1）}$．
因?yàn)閍＞1，
所以a-1＞0，a²-1＞0，（a-1）²＞0．
當(dāng)a=10時(shí)，甲的單位面積產(chǎn)量=乙的面積產(chǎn)量；
當(dāng)a＞10時(shí)，-$\frac{20（a-1）（a-10）}{（a+1）^{2}（{a}^{2}-1）}$＜0，即$\frac{90}{（a-1）^{2}}$＜$\frac{110}{{a}^{2}-1}$，此時(shí)，甲的單位面積產(chǎn)量＜乙的面積產(chǎn)量；
當(dāng)a＜10時(shí)，-$\frac{20（a-1）（a-10）}{（a+1）^{2}（{a}^{2}-1）}$＞0，即$\frac{90}{（a-1）^{2}}$＞$\frac{110}{{a}^{2}-1}$，此時(shí)，甲的單位面積產(chǎn)量＞乙的面積產(chǎn)量．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分式方程的應(yīng)用．解答（2）題時(shí)，要對(duì)a的不同取值進(jìn)行分類討論，以防錯(cuò)解．