Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D．

（1）直接寫出A、B、C三點的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m；
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

拋物線的對稱軸是：直線x=1．

（2）解：①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

解得： ．

所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x+3．

當(dāng)x=1時，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2）．

當(dāng)x=m時，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x2+2x+3中，當(dāng)x=1時，y=4．

∴D（1，4）

當(dāng)x=m時，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3）

∴線段DE=4﹣2=2，

線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m

∵PF∥DE，

∴當(dāng)PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形．

由﹣m2+3m=2，

解得：m1=2，m2=1（不合題意，舍去）．

因此，當(dāng)m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設(shè)直線PF與x軸交于點M，

由B（3，0），O（0，0），

可得：OB=OM+MB=3．

∵S=S△BPF+S△CPF

即S= PFBM+ PFOM= PF（BM+OM）= PFOB．

∴S= ×3（﹣m2+3m）=﹣ m2+ m（0≤m≤3）．

∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），

∴ ，

∴ ，

∵∠DEC=∠COB=90°，

∴△DEC∽△COB，

∴∠DCE=∠CBO，

∴∠DCE+∠OCB=90°，

∴DC⊥BC，

∴△BCD的外接圓圓心M為BD中點，

∴MX= =2，MY= =2，

∴△BCD的外接圓圓心M（2，2）

【解析】（1）與x軸交點令y=0,解方程即可，與y軸交點，令x=0，求出y即可，對稱軸可套公式x=；（2）若四邊形PEDF為平行四邊形，可得PF∥DE,PF=ED,用m的代數(shù)式表示PF，等于DE的長，構(gòu)建方程即可；（3）用分割的方法把三角形面積分成S△BPF+S△CPF，分別用m的代數(shù)式表示底邊和高即可.