Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，將BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到BE所在的位置，BE與AD交于點(diǎn)F，分別連接DE、CE．

（1）求證：DE=DF；
（2）求證：AE∥BD；
（3）求tan∠ACE的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到BE，

∴∠DBE=30°，BD=BE，

∴∠BDE=∠BED= =75°，

在正方形ABCD中，BD是對(duì)角線，

∴∠ADB=45°，

∴∠EDF=75°﹣45°=30°，

在△DEF中，∠DFE=180°﹣∠EDF﹣∠FED=180°﹣30°﹣75°=75°，

∴∠DFE=∠DEF，

∴DE=DF

（2）

證明：過E作EG⊥BD于點(diǎn)G，

∵∠DBE=30°，

∴EG= BE= BD，

在正方形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，

∴AC=BD，OA= AC= BD，AC⊥BD，

∴EG=OA，且EG∥OA，

∴四邊形AOGE是平行四邊形，

∵∠AOD=90°，

∴四邊形AOGE是矩形，

∴AE∥BD：

（3）

設(shè)EG=x，則BE=BD=AC=2EG=2x，

Rt△BEG中，BG= = x，

∴OG=BG﹣BO=（ ﹣1）x，

在矩形AOGE中，∠EAO=90°

∴AE=OG=（ ﹣1）x，

∴tan∠ACE= = ．

【解析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DBE=30°，BD=BE，求∠BDE=∠BED=75°，則∠EDF=75°﹣45°=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得：∠DFE=75°，所以∠DFE=∠DEF，由等角對(duì)等邊得結(jié)論；（2）如圖所示，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)得：EG= BE= BD，由正方形的性質(zhì)得：AC=BD，OA= AC= BD，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AOGE是平行四邊形，則AE∥BD；（3）證明四邊形AOGE是矩形，設(shè)EG=x，由勾股定理得：BG= = x，由矩形AOGE可知：∠EAO=90°，計(jì)算tan∠ACE的值即可．
【考點(diǎn)精析】利用三角形三邊關(guān)系和正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．