Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD= BC，DE⊥CE，DE=CE，連接AE，點M是AE的中點．
（1）如圖1，若點D在BC邊上，連接CM，當(dāng)AB=4時，求CM的長；
（2）如圖2，若點D在△ABC的內(nèi)部，連接BD，點N是BD中點，連接MN，NE，求證：MN⊥AE；
（3）如圖3，將圖2中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使∠BCD=30°，連接BD，點N是BD中點，連接MN，探索 的值并直接寫出結(jié)果．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，連接AD．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=4，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACD=45°，BC= =4 ，

∵DC= BC=2 ，

∵ED=EC，∠DEC=90°，

∴DE=EC=2，∠DCE=∠EDC=45°，

∴∠ACE=90°，

在RT△ACE中，AE= = =2 ，

∵AM=ME，

∴CM= AE=

（2）解：如圖2中，延長EN至F使NF=NE，連接AF、BF．

在△DNE和△BNF中，

，

∴△DNE≌△BNF，

∴BF=DE=EC，∠FBN=∠EDN，

∵∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠ACE=90°﹣∠DCB，

∴∠ABF=∠FBN﹣∠ABN

=∠BDE﹣∠ABN

=180°﹣∠DBC﹣∠DGB﹣∠ABN

=180°﹣∠DBC﹣∠DCB﹣∠CDE﹣∠ABN

=180°﹣（∠DBC+∠ABN）﹣∠DCB﹣45°

=180°﹣45°﹣45°﹣∠DCB=90°﹣∠DCB=∠ACE，

在△ABF和△ACE中，

，

∴△ABF≌△ACE．

∴∠FAB=∠EAC，

∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，

∵N為FE中點，M為AE中點，

∴AF∥NM，

∴MN⊥AE

（3）解：如圖3中，延長DM到G使得MG=MD，連接AG、BG，延長AG、EC交于點F．

∵△AMG≌△EMD，

∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，

∴AG∥DE，

∴∠F=∠DEC=90°，

∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∠BCD=30°，

∴∠CAF=30°，∠BAG=∠BAC+∠CAF=120°，

∴∠BAG=∠ACE=120°，

在△ABG和△CAE中，

，

∴△ABG≌△CAE，

∴BG=AE，

∵BN=ND，DM=MG，

∴BG=AE=2MN，

∵∠FAC=∠BCD=30°，設(shè)BC=2a，則CD=a，DE=EC= a，AC= a，CF= a，AF= a，EF= a，

∴AE= = a，

∴MN= a，

∴ = = ．

【解析】（1）先證明△ACE是直角三角形，根據(jù)CM= AE，求出AE即可解決問題．（2）如圖2中，如圖2中，延長EN至F使NF=NE，連接AF、BF，先證明△DNE≌△BNF，再證明△ABF≌△ACE，推出∠FAB=∠EAC，可得∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，由此即可解決問題．（3）如圖3中，延長DM到G使得MG=MD，連接AG、BG，延長AG、EC交于點F，先證明△ABG≌△CAE，得到BG=AE，設(shè)BC=2a，在RT△AEF中求出AE，根據(jù)中位線定理MN= BG= AE，由此即可解決問題．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．