Question

如圖，將等腰直角三角形ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到△AB′C′，若AC=1，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A．
B．
C．
D．3

Answer 1

【答案】分析：設(shè)BC交AB與D，由△ABC為等腰直角三角形，得到∠CAB=45°，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CAC′=30°，AC=AC′=1，于是
∠C′AD=15°，在Rt△AC′D中，利用三角函數(shù)即可得到C′D=2-，最后根據(jù)三角形的面積公式求出△AC′D的面積即圖中陰影部分的面積．
解答：解：設(shè)BC交AB于D，如圖，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
又∵三角形ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到△AB′C′，
∴∠CAC′=30°，AC=AC′=1，
∴∠C′AD=15°，
在Rt△PQG中，∠G=90°，∠PGQ=30°，延長(zhǎng)GQ到M，使QM=QP，連MP，如圖，
設(shè)PG=1，則QG=，PQ=2，
∴QM=2+，∠M=15°，
∴tan15°==2-．
在Rt△AC′D中，
tan15°==2-，
∴C′D=2-，
∴陰影部分的面積=•AC′•C′D=×1×（2-）=．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．同時(shí)考查了等腰三角形的性質(zhì)和15度的正切值．