Question

如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥DC，CD=4．
（1）求AD的長；
（2）求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，易證得△ABD是等腰三角形，由BD⊥DC，∠ABC=60°，易證得梯形ABCD是等腰梯形，繼而求得答案；
（2）首先過點D作DE⊥BC于點E，易求得BC的長，然后由勾股定理，可求得DE的長，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠1=∠2=

1

2

∠ABC=30°．
又∵BD⊥DC，
∴∠C=60°．
∴∠ABC=∠C．
∴AB=CD=4．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3．
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3．
∴AD=AB=4；

（2）過點D作DE⊥BC于點E，
在Rt△DBC中，∠1=30°，
∴BC=2CD=8．
在Rt△DEC中，∠C=60°，
∴∠4=30°．
∴EC=

1

2

CD=2．
∴DE=

CD2-EC2

=2

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•DE=12

3

．

點評：此題考查了等腰梯形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．