已知⊙O的半徑為3,⊙P與⊙O相切于點(diǎn)A,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與⊙O、⊙P分別交于點(diǎn)B、C,cos∠BAO=
1
3
,設(shè)⊙P的半徑為x,線段OC的長(zhǎng)為y.
(1)求AB的長(zhǎng);
(2)如圖,當(dāng)⊙P與⊙O外切時(shí),求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)當(dāng)∠OCA=∠OPC時(shí),求⊙P的半徑.
考點(diǎn):圓的綜合題
專題:
分析:(1)利用cos∠BAO=
AD
OA
=
1
3
,得出AB=2AD進(jìn)而得出答案;
(2)首先得出PC∥OB,進(jìn)而求出
AC
AB
=
PA
AO
,得出OC與x的函數(shù)關(guān)系式即可;
(3)當(dāng)⊙P與⊙O外切時(shí),根據(jù)∠BOA=∠OCA,∠CAO=∠POC,則△OAC∽△OCP,得出
OA
OC
=
OC
OP
解答:解:(1)在⊙O中,作OD⊥AB,垂足為D,
在Rt△OAD中,cos∠BAO=
AD
OA
=
1
3
,
∴AD=
1
3
AO=1,
∴BD=AD=1,
∴AB=2AD=2.

(2)連接OB、PA、PC,
∵⊙P與⊙O相切于點(diǎn)A,
∴點(diǎn)P、A、O在一直線上.
∵PC=PA,OA=OB,
∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA,
∴PC∥OB.
AC
AB
=
PA
AO

∴AC=
PA•AB
AC
=
2x
3
,
∵OD2=OA2-AD2=32-12=8,CD=AD+AC=
2
3
x+1,
∴OC=
OD2+CD2
=
(
2
3
x+1)2+8

∴y=
1
3
4x2+12x+81
,(定義域?yàn)閤>0).

(3)當(dāng)⊙P與⊙O外切時(shí),
∵∠BOA=∠OCA,∠CAO=∠POC,
∴△OAC∽△OCP.
OA
OC
=
OC
OP
,
∴OC2=OA•OP,
1
9
(4x2+12x+81)=3(3+x),
∴x1=0(不符合題意,舍去),x2=
15
4
,
∴這時(shí)⊙P的半徑為
15
4
,
當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時(shí),
2x
3
=
9
2

解得:x=
27
4
,
∴這時(shí)⊙P的半徑為
27
4
,
∴⊙P的半徑為
15
4
27
4
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí),利用分類討論得出是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如果x2+mx+49是一個(gè)整式的平方,那么m的值是( 。
A、7B、-14
C、7或-7D、14或-14

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列計(jì)算錯(cuò)誤的是( 。
A、
0.2a+b
0.7a-b
=
2a+b
7a-b
B、
m3n2
m2n4
=
m
n2
C、
x-y
y-x
=-1
D、
1
x
+
5
x
=
6
x

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
1
x
-
2
y
=3,則
2xy
2x-y
的值是( 。
A、-3
B、
3
2
C、-
2
3
D、2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下表是某校在一次體檢中所抽取的八年級(jí)20名女生身高統(tǒng)計(jì)結(jié)果:( 。
 身高/m  1.51  1.52  1.53  1.54  1.55  1.56  1.57
 人數(shù)  1  1  3  4  3  6  2
則該班被抽取的女生身高的眾數(shù)和平均數(shù)(保留兩位小數(shù))分別是(  )
A、1.54m,1.56m
B、1.55m,1.54m
C、1.53m,1.55m
D、1.56m,1.55m

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:
(1)(
3
+
2
)(
3
-
2
).                                 
(2)(
1
3
27
-
24
-3
2
3
)•
12

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)與B(0,4).
(1)求一次函數(shù)的解析式,并在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象;
(2)當(dāng)x≥0時(shí),請(qǐng)直接寫出y的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

先化簡(jiǎn),再求值.
x2-1
x
÷(1-
2x-1
x
),其中x=
2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

觀察例題:∵
4
7
9
2<
7
<3

7
的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為
7
-2

請(qǐng)你觀察上述規(guī)律后解決下面的問(wèn)題:
(1)規(guī)定用符號(hào)[m]表示實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分
例如:[
2
3
]=0
,[3.14]=3
按此規(guī)定[
10
+1]=
 

(2)如果
3
的小數(shù)部分為a,
5
的小數(shù)部分為b,求
3
•a+
5
•b-8的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案