Question

（2003•山西）已知：如圖AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m為實(shí)數(shù)）的兩根．
（1）求證：BE=BD．
（2）若GE•EF=6，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明BE=BD，就要根據(jù)BE、BD恰好是關(guān)于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m為實(shí)數(shù)）的兩根，來(lái)判斷，是它的兩根，可見此方程有根，所以求出△，必須≥0．利用這求出m的值．從而求出這個(gè)方程的一般式，然后解方程求出根，即是BE、BD的長(zhǎng)度；
（2）要求∠A的度數(shù)就要利用直角三角形的角邊關(guān)系，求出在Rt△ACB中sinA的值，要求sinA的值，就要求BC，AB的值．這就要利用題中給出的條件利用相似三角形來(lái)求．
解答：（1）證明：∵BE、BD是關(guān)于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0的兩根，
∴△=（-6）²-4（m²+4m+13）=-4（m+2）²≥0，∴m=-2，（2分）
原方程為x²-6x+9=0，
解之，得x₁=x₂=3，
∴BE=BD=3；（4分）

（2）解：由相交弦定理得AE•BE=GE•FE=6
∴AE=2（5分）
∵PB切⊙O于點(diǎn)B，AB為⊙O的直徑
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3，
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A，
∴∠3=∠4（7分）
方法一：易證△PBD∽△PAE，
∴
△PDC∽△PEB
∴（9分）
∴（10分）
在Rt△ACB中，
∴∠A=60°；（12分）

方法二：易證△PBC∽△PAB，
∴
∵△PBD∽△PAE
∴（9分）
∴（10分）

∴∠A=60°（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了學(xué)生圓的有關(guān)知識(shí)，及一元二次方程根的判別式的性質(zhì)．本題的綜合性質(zhì)很強(qiáng)，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)思維一定要開闊，要把各知識(shí)系統(tǒng)起來(lái)．