Question

在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若AC、DE交于點O，四邊形ADCE的面積為16

3

，CD=4，求∠AOD的度數(shù)；
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，矩形ADCE是正方形，并說明理由．

Answer 1

考點：矩形的判定,平行四邊形的性質(zhì),正方形的判定

專題：

分析：（1）已知四邊形ABDE是平行四邊形，只需證得它的一個內(nèi)角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底邊的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得∠ADC是直角，由此得證；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD的長度，進(jìn)而得出∠DAC=30°即可求出答案；
（3）當(dāng)滿足條件AC=BC，證明CD⊥AB且相等即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．
∵D為BC中點，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∵AB=AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形；

（2）解：∵平行四邊形ADCE是矩形，四邊形ADCE的面積為16

3

，CD=4，
∴AD•CD=4AD=16

3

，DO=AO=CO=EO，
解得：AD=4

3

，
∴tan∠DAC=

CD

AD

=

4

4 3

=

3

3

，
∴∠DAC=30°，
∴∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°．

（3）當(dāng)滿足條件AC=BC．
證明：∵AC=BC，D為AB中點，
∴CD⊥AB（三線合一的性質(zhì)），即∠ADC=90°．
∵四邊形BCED為平行四邊形，四邊形ADCE為平行四邊形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四邊形ADCE為正方形．（對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形）

點評：本題主要考查正方形的判定、菱形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識點，此題是道綜合體，有一定的難度，解答的關(guān)鍵還是要能熟練掌握各種四邊形的基本性質(zhì)．