Question

如圖，以矩形OCPD的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，它的兩條邊所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系. 以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，若拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過A， B， C三點(diǎn)， 且AB=6.

（1）求⊙P的半徑R的長；
（2）求該拋物線的解析式并直接寫出該拋物線與⊙P的第四個(gè)交點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若以AB為直徑的圓與直線AC的交點(diǎn)為F，求AF的長.

Answer 1

（1）連結(jié)AP.
∵拋物線解析式為y=ax²+bx+4
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），即OC=4
∵四邊形OCPD是矩形，∴PD=OC=2，PD⊥AB
∵AB=6，∴AD=3
∵PA²=PD²+AD²，∴R²=4²+3²
∴R=5；
（2）∵OD=PC=5，AD=3，AB=6 ∴OA=2，OB=8 
       即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）
      代入拋物線y=ax²+bx+4，可求得
       E點(diǎn)坐標(biāo)為（10，4）；
（3）∵以AB為直徑的圓與直線AC的交點(diǎn)為F ∴∠BEA=90° 
        ∵∠CAO=∠BAE，∠AOC=∠AEB ∴△AOC∽△AEB
        ∴    ∵OA=2，，AB=6 
       ∴AF=