Question

14．若一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)圖形的不同的邊上，則稱此三角形為該圖形的內(nèi)接三角形．
（1）在圖1中畫出△ABC的一個(gè)內(nèi)接直角三角形；
（2）如圖2，已知△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AB=8，AD為BC邊上的高，探究以D為一個(gè)頂點(diǎn)作△ABC的內(nèi)接三角形，其周長是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，試探究：△ABC的內(nèi)接等腰直角三角形的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知內(nèi)接三角形的定義結(jié)合直角三角形作法得出答案；
（2）分別作點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的軸對稱點(diǎn)D′、D″，連接D′D″，交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接DE、DF，則△DEF即為周長最小的內(nèi)接三角形，再利用已知結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出HD″=AD″•cos30°，即可得出答案；
（3）利用分類討論①當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在斜邊AB上時(shí)，②當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在直角邊上時(shí)，分別得出答案．

解答 解：（1）如圖1，△DEF為所求作的三角形（答案不唯一）；

（2）存在．
如圖2，分別作點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的軸對稱點(diǎn)D′、D″，連接D′D″，交AB、AC于點(diǎn)E、F，
連接DE、DF，則△DEF即為周長最小的內(nèi)接三角形，
D′D″的長即為最小周長．
∵AB=8，∠B=45°，AD⊥BC，
∴AD=AB•sin45°=4$\sqrt{2}$．
∵點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的軸對稱點(diǎn)分別為D′、D″，
∴AD′=AD″=AD=4$\sqrt{2}$，∠D′AD″=2∠BAC=120°，
過點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，
在Rt△AHD″中，∠AD″H=30°，
∴HD″=AD″•cos30°=2$\sqrt{6}$，
∴△DEF周長的最小值為4$\sqrt{6}$；

（3）分類討論：
①當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在斜邊AB上時(shí)，
如圖3，∵∠ACB=∠EDF=90°，
以EF為直徑畫圓，則點(diǎn)C、D在圓上，
連接CD，∵DE=DF，
∴∠ACD=∠BCD，
又∵AC=BC，
∴CD是AB邊上的中線，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，
過點(diǎn)D作DE′⊥AC，DF′⊥BC，此時(shí)，DE′、DF′最短．
當(dāng)點(diǎn)E與E′重合，點(diǎn)F與F′重合時(shí)，△DEF的面積最小，
此時(shí)四邊形CEDF為矩形．
設(shè)DE=x，則BC=2DE=2x=6，
∴x=3，∴S_最小=$\frac{9}{2}$；     
  
②當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在直角邊上時(shí)，如圖4，
過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)DG=y，GF=x，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠FDG=90°，
∵∠CED+∠EDC=90°，
∴∠CED=∠FDG，
在△CDE和△GFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠FGD}\\{∠CED=∠GDF}\\{ED=DF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△GFD（AAS），
∴CD=FG=x，
∵∠B=45°，F(xiàn)G⊥BC，
∴GB=GF=x，
∴BC=CD+DG+GB=2x+y=6，即y=6-2x．
S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF²=$\frac{1}{2}$（y²+x²）
=$\frac{5}{2}$x²-12x+18
=$\frac{5}{2}$（x-$\frac{12}{5}$）²+$\frac{18}{5}$，
故當(dāng)x=$\frac{12}{5}$時(shí)，S_最小=$\frac{18}{5}$，
∵$\frac{9}{2}$＞$\frac{18}{5}$，
∴△DEF的面積存在最小值，其最小值為$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)最值求法、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用分類討論、數(shù)形結(jié)合得出三角形的面積的最小值是解題關(guān)鍵．