Question

【題目】閱讀以下內容并回答問題：

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，有一個△OEF，要求在△OEF內作一個內接正方形ABCD，使正方形A，B兩個頂點在△OEF的OE邊上，另兩個頂點C，D分別在EF和OF兩條邊上．

小麗感到要使四邊形的四個頂點同時滿足上述條件有些困難，但可以先讓四邊形的三個頂點滿足條件，于是她先畫了一個有三個頂點在三角形邊上的正方形（如圖2）．接著她又在△OEF內畫了一個這樣的正方形（如圖3）．她發(fā)現如果再多畫一些這樣的正方形，就能發(fā)現這些點C位置的排列圖形，根據這個圖形就能畫出滿足條件的正方形了．

（1）請你也實驗一下，再多畫幾個這樣的正方形，猜想小麗發(fā)現這些點C排列的圖形是　 　；

（2）請你參考上述思路，繼續(xù)解決問題：如果E，F兩點的坐標分別為E（6，0），F（4，3）．

①當A1的坐標是（1，0）時，則C1的坐標是　 　；

②當A2的坐標是（2，0）時，則C2的坐標是　 　；

③結合（1）中猜想，求出正方形ABCD的頂點D的坐標，在圖3中畫出滿足條件的正方形ABCD．

Answer 1

【答案】（1）一條線段；（2）①（，）；②（，）；D點坐標為（，2），③見解析.

【解析】

（1）通過畫圖，可直接得出結論；

（2）先確定出直線OF的解析式，

①將x＝1代入直線OF解析式求出y，即可得出結論；

②將x＝2代入直線OF解析式求出y，即可得出結論；

③先求出直線C1C2的表達式為y＝x和直線EF的表達式為y＝﹣+9，進而求出C點坐標為（，2），即可得出結論．

解：（1）通過畫圖，猜想小麗發(fā)現這些點C排列的圖形是一條線段；

故答案為：一條線段；

（2）∵F（4，3）．

∴直線OF的表達式是y＝x，

①∵四邊形A1B1C1D1是正方形，

∴A1D1＝A1B1，

把x＝1代入直線y＝x中，得y＝，

∴OB1＝OA1+A1B1＝1+＝，

∴C1的坐標是 （，），

故答案為：（，）；

②∵四邊形A2B2C2D2是正方形，

∴A2D2＝A2B2，

把x＝2代入直線y＝x中，得y＝，

∴OB2＝OA2+A2B2＝2+＝，

∴C2的坐標是 （，），

故答案為：（，）；

③設過C1，C2兩點的一次函數表達式是y＝kx+b（k≠0）．

代入C1，C2兩點得，

解得，

∴直線C1C2的表達式為y＝x，

設過E（6，0），F（4，3）兩點的一次函數表達式是y＝k'x+b'（k'≠0）．

代入E，F兩點得

解得，

所以直線EF的表達式為y＝﹣x+9

直線EF：y＝﹣x+9與直線C1C2：y＝x的交點坐標為C．

聯立直線EF和直線C1C2解析式成方程組并求解得：x＝，y＝2．

∴C點坐標為（，2）．

把y＝2代入y＝x，解得x＝，

∴D點坐標為（，2）

所畫四邊形ABCD如圖3所示，