Question

如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，將△ABE繞著頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADF，連接EF，P為EF的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：
①∠AEF=45°②EF=2CE③∠DAP=∠CFE④∠ADP=45°⑤PD∥AF中，正確的個(gè)數(shù)是

1. A.
   2個(gè)
2. B.
   3個(gè)
3. C.
   4個(gè)
4. D.
   5個(gè)

Answer 1

B
分析：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知△AFE等腰直角三角形；
②在直角△CEF中，根據(jù)“30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”進(jìn)行判斷；
③、④點(diǎn)A、P、D、F在以AF為直徑的圓上，所以由圓周角定理進(jìn)行證明；
⑤利用反證法．利用④的結(jié)論推知點(diǎn)P在對角線BD上，所以通過旋轉(zhuǎn)的角度、正方形的性質(zhì)來證明線段PD與AF不平行．
解答：解：①∵△ABE繞著頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF．
∴△ABE≌△ADF，∠FAE=90°，
∴AE=AF，即△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°．
故①正確；
②如圖，連接CP．
∵∠ECF=90°，∴當(dāng)∠CFE=30°時(shí)，EF=2EC．
∴EF不一定等于2EC．
故②不正確；
③∵P為EF的中點(diǎn)，AE=AF，
∴∠APF=90°．
∵∠APF=∠ADF=90°，
∴點(diǎn)A、P、D、F在以AF為直徑的圓上，
∴∠DAP=∠DFP，即∠DAP=∠CFE．
故③正確；
④∵△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF=AFE=45°．
又∵點(diǎn)A、P、D、F在以AF為直徑的圓上，
∴∠ADP=∠AFP，即∠ADP=∠AFE=45°．
故④正確；
⑤如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O．
∵∠ADP=45°，
∴點(diǎn)P在正方形ABCD的對角線BD上．
假設(shè)PD∥AF．
∵∠PAE=90°，即FA⊥AE，
∴DP⊥AE．
又∵AC⊥BD，
∴AE與AC重合，這與已知圖形相矛盾，
∴PD與AE不平行．
故⑤錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的說法有①③④．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．正方形的對角線平分對角，且兩條對角線互相垂直．