Question

13．已知，如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABD的中線，AB=DC，∠BAD=∠BDA，求證：AC=2AE．

Answer 1

分析 取AB的中點(diǎn)F，連接DF．證明DF是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出DF∥AC且DF=$\frac{1}{2}$AC，由SAS可證△ADF≌△ADE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 證明：取AB的中點(diǎn)F，連接DF．如圖所示：
∵∠ADB=∠BAD，
∴BD=AB，
又∵CD=AB，
∴CD=BD，即D為BC中點(diǎn)，
∵F是AB中點(diǎn)，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF∥AC且DF=$\frac{1}{2}$AC，
又∵AB=BD，E、F分別為BD、AB中線，
∴DE=AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BD，
∵∠ADB=∠BAD，
∴∠FAD=∠EDA，
在△ADF與△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DA}&{\;}\\{∠FAD=∠EDA}&{\;}\\{DE=AF}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△DAE（SAS），
∴DF=AE，
∴AC=2DF=2AE．

點(diǎn)評 考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理；通過作輔助線構(gòu)造三角形全等是解決問題的關(guān)鍵解題的關(guān)鍵．