Question

10．已知數(shù)列$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$…，記第一個(gè)數(shù)a₁，第二個(gè)數(shù)為a₂，…，第n個(gè)數(shù)為a_n，若a_n是方程$\frac{1+3x}{2}$=$\frac{x-1}{3}$+1的解，則n=37或49．

Answer 1

分析 整理整式方程求出方程的解，根據(jù)數(shù)列規(guī)律，將數(shù)列按照分母分組，可以發(fā)現(xiàn)每組同分母的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)等于分母乘以2再減1，再求出x的值在第幾個(gè)即為n值．

解答 解：$\frac{1+3x}{2}$=$\frac{x-1}{3}$+1
兩邊同乘以6得：3+9x=2x-2+6
解得：x=$\frac{1}{7}$
∴a_n=$\frac{1}{7}$
分析數(shù)列如下：
$\frac{1}{1}$（分母為1時(shí)，1個(gè)數(shù)）
$\frac{1}{2}$'$\frac{2}{2}$'$\frac{1}{2}$（分母為2時(shí)，3個(gè)數(shù)）
以此類推，分母為3時(shí)，有5個(gè)數(shù)，分母為4時(shí)，有7個(gè)數(shù)，分母為5時(shí)，有9個(gè)數(shù)，分母為6時(shí)，有11個(gè)數(shù)，
前面所有分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)為1+3+5+7+9+11=36
分母為7時(shí)，有13個(gè)數(shù)，第37個(gè)數(shù)和49個(gè)數(shù)都是$\frac{1}{7}$
故n=37或49．

點(diǎn)評(píng) 題目設(shè)計(jì)新穎，考察學(xué)生的觀察能力和處理問題能力，特別注意$\frac{1}{7}$會(huì)在兩個(gè)位置出現(xiàn)，因此n值會(huì)有兩個(gè)解．