Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AN⊥CD，垂足分別為E、N，且AE=BE，AN、BD交于點(diǎn)O，∠ADB=15°，問：DF=2

2

AE是否成立？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：先回答成立，然后根據(jù)題意作輔助線，構(gòu)造出平行四邊形進(jìn)而即可根據(jù)線段的關(guān)系進(jìn)行推理得證．

解答：解：DF=2

2

AE成立．理由如下：
如圖所示，延長DC、AE相交于點(diǎn)G，連接BG，過點(diǎn)B作BH⊥DG于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FM⊥DG于點(diǎn)M，
∴四邊形ABHN是平行四邊形，
∴BH=AN，
∵∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°，
∴BD=2BH=2BN，
∵∠DAG=90°，∠ADG=45°，
∴DG=

2

AD=

2

•

2

AN=2AN，
∴DB=DG，
∴∠DBG=∠DGB=75°，
∴∠EBG=∠FBG-∠DBC=60°，∠BGF=30°，
∴BG=2BE=2AE，∠BFG=75°=∠FBG，
∴FG=BG=2AE，
∵DF=2FM，F(xiàn)G=

2

FM，
∴DF=

2

FG=2

2

AE．

點(diǎn)評：該題目考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，難點(diǎn)是由題意分析出作輔助線的方法，是比較復(fù)雜的題目．