Question

問(wèn)題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩個(gè)命題：
①如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=60°，則BM=CN。
②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=90°，則BM=CN。
然后運(yùn)用類比的思想提出了如下的命題：
③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，則BM=CN。
任務(wù)要求：
（1）請(qǐng)你從①、②、③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；
（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：
①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，問(wèn)當(dāng)∠BON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM=CN成立？（不要求證明）
②如圖5，在五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，當(dāng)∠BON=108°時(shí)，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（1）我選
證明：

Answer 1

解：（1）選命題① 證明： 在圖1中，∵∠BON=60°， ∴∠CBM+∠BCN=60°， ∵∠BCN+∠ACN=60°， ∴∠CBM=∠ACN， 又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°， ∴△BCM≌△CAN， ∴BM=CN， 選命題②，證明：在圖2中， ∵∠BON=90°， ∴∠CBM+∠BCN=90°， ∵∠BCN+∠DCN=90°， ∴∠CBM=∠DCN， 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°， ∴△BCM≌△CDN， ∴BM=CN， 選命題③證明：在圖3中， ∵∠BON=108°， ∴∠CBM+∠BCN=108°， ∵∠BCN+∠DCN=108°， ∴∠CBM=∠DCN， 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°， ∴△BCM≌△CDN， ∴BM=CN； （2）①當(dāng)∠BON=時(shí)，結(jié)論BM=CN成立， ②BM=CN成立， 證明：如圖5，連結(jié)BD、CE， 在△BCD和△CDE中， ∵BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE， ∴△BCD≌△CDE， ∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD， ∵∠OBC+∠OCB=108°，∠OCB+∠OCD=108°， ∴∠MBC=∠NCD， 又∵∠DBC=∠ECD=36°， ∴∠DBM=∠ECN， ∴△BDM≌△ECN。