Question

（2012•泰州）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上，將△ABC向下平移4個(gè)單位、再向右平移3個(gè)單位得到△A₁B₁C₁，然后將△A₁B₁C₁繞點(diǎn)A₁順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₁B₂C₂．
（1）在網(wǎng)格中畫出△A₁B₁C₁和△A₁B₂C₂；
（2）計(jì)算線段AC在變換到A₁C₂的過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域的面積（重疊部分不重復(fù)計(jì)算）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△A₁B₁C₁及△A₁B₂C₂即可；
（2）根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，將△ABC向下平移4個(gè)單位AC所掃過(guò)的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個(gè)單位AC掃過(guò)的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當(dāng)△A₁B₁C₁繞點(diǎn)A₁順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△A₁B₂C₂時(shí)，A₁C₁所掃過(guò)的面積是以A₁為圓心以以2

2

為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，再減去重疊部分的面積，根據(jù)平行四邊形的面積及扇形面積公式進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）∵圖中是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格，
∴AC=

22+22

=2

2

，
∵將△ABC向下平移4個(gè)單位AC所掃過(guò)的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個(gè)單位AC所掃過(guò)的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個(gè)單位AC掃過(guò)的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當(dāng)△A₁B₁C₁繞點(diǎn)A₁順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△A₁B₂C₂時(shí)，A₁C₁所掃過(guò)的面積是以A₁為圓心以2

2

為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，重疊部分是以A₁為圓心，以2

2

為半徑，圓心角為45°的扇形的面積，
∴線段AC在變換到A₁C₂的過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域的面積=4×2+3×2+

90π×(2 2 )2

360

-

45π×(2 2 )2

360

=14+π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換及平移變換，扇形的面積公式，熟知圖形旋轉(zhuǎn)、平移不變性的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．