Question

如圖，□ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為DC上一點(diǎn)，∠DAE=30°，過(guò)D作DF⊥AE于F點(diǎn)，連接OF．則線段OF的長(zhǎng)度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：作OG⊥DF于G，連接OG．易證A、O、F、D四點(diǎn)共圓，從而有∠OFG=∠DAO=45°，則有OG=FG．設(shè)GF=GO=x，則有DG=1+x，OF=

2

x．然后先求出OD，再在Rt△OGD中運(yùn)用勾股定理求出x，就可得到OF的長(zhǎng)．

解答：解：作OG⊥DF于G，連接OG，如圖所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，∠AOD=90°．
∵DF⊥AE，即∠AFD=90°，
∴∠AOD=∠AFD．
∴A、O、F、D四點(diǎn)共圓．
∴∠OFG=∠DAO=45°．
∵OG⊥DF，即∠OGF=90°，
∴∠FOG=45°=∠OFG．
∴OG=FG．
∵∠AFD=90°，∠DAE=30°，AD=2，∴DF=1．
設(shè)GF=GO=x，
則有DG=DF+FG=1+x，OF=

GF2+OG2

=

2

x．
在Rt△AOD中，OD=AD•sin∠DAO=2×

2

2

=

2

．
在Rt△OGD中，
∵∠OGD=90°，∴OG²+DG²=OD²．
∴x²+（1+x）²=（

2

）²．
解得：x₁=-

1

2

+

3

2

，x₂=-

1

2

-

3

2

（舍去）．
所以O(shè)F=

2

x=

6

2

-

2

2

．
故答案為：

6

2

-

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、解一元二次方程、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，有一定的綜合性，通過(guò)證明A、O、F、D四點(diǎn)共圓得到∠OFG=∠DAO=45°是解決本題的關(guān)鍵．