Question

如圖，AE切⊙O于點(diǎn)E，AT交⊙O于點(diǎn)M，N，線段OE交AT于點(diǎn)C，OB⊥AT于點(diǎn)B，已知∠EAT＝30°，AE＝3，MN＝2.

(1)求∠COB的度數(shù)；(2)求⊙O的半徑R；

(3)點(diǎn)F在⊙O上(是劣弧)，且EF＝5，△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E、F重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)也在⊙O上的三角形嗎？請?jiān)趫D中畫出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與△OBC的周長之比．

Answer 1

解：(1)∵AE切⊙O于點(diǎn)E，∴OE⊥AE，

∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，

而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分)

圖(1)

(2)在Rt△ACE中，AE＝3，∠A＝30°，

∴EC＝AE·tan30°＝3.

如圖(1)，連接OM，

在Rt△MOB中，OM＝R，MB＝＝，

∴OB＝＝.

在Rt△COB中，∠COB＝30°，

∴OC＝.

∵OC＋EC＝R，∴·＋3＝R

整理得R²＋18R－115＝0，即(R＋23)(R－5)＝0，

∴R＝－23(不符合題意，舍去)，或R＝5，∴R＝5.(8分)

(3)在EF的同一側(cè)，滿足題意的三角形共有6個(gè)，如圖(2)(3)(4)，每個(gè)圖有2個(gè)滿足題意的三角形．

能找出另一個(gè)頂點(diǎn)也在⊙O上的三角形，如圖(1)，延長EO交⊙O于D，連接DF，則△DFE為符合條件 的三角形．

圖(2)　　　 　圖(3)　　　圖(4)

由題意得，△DFE∽△OBC.

由(2)得，DE＝2R＝10，OC＝＝2，∴＝＝＝5.(14分)