Question

8．如圖，四邊形ABCD中，連接AC，BD，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，并且AD=4.5，BD=7，5，則CD的長為6．

Answer 1

分析 首先以CD為邊作等邊△CDE，連接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，進(jìn)而求出DE的長即可．

解答 解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE．
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．
又∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AE=7.5，AD=4.5，
于是DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=6，
∴CD=DE=6．
故答案為6．

點評 此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠ADE=90°是解題關(guān)鍵．