Question

（2007•山西）如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊的中點，AC與BE相交于點F，連接DF．
（1）在不增加點和線的前提下，直接寫出圖中所有的全等三角形；
（2）連接AE，試判斷AE與DF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）延長DF交BC于點M，試判斷BM與MC的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到相關(guān)的條件找出全等的三角形：△ADE≌△ABC，△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，
△CDF≌△CBF；利用全等的關(guān)系求出∠AHD=90°，得到AE⊥DF；同時可判定BM=MC．
解答：解：（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF．

（2）AE⊥DF．
證明：設(shè)AE與DF相交于點H．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．
又∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF．
∴∠1=∠2．
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，
∴△ADE≌△BCE．
∴∠3=∠4．
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHD=90°．
∴AE⊥DF．

（3）∵∠ADE=90°，AE⊥DF．
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°．
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5．
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，
∴△DCM≌△BCE．
∴CE=CM，
又∵E為CD中點，且CD=CB，
∴CE=CD=BC，
∴CM=CB，即M為BC中點，
∴BM=MC．
點評：主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性質(zhì)來找到全等的條件從而判定全等后利用全等三角形的性質(zhì)解題．