Question

在一次數(shù)學(xué)活動課上，兩個同學(xué)利用計算機(jī)軟件探索函數(shù)問題，下面是他們交流片斷：
圖1：小韓：若直線x=m（m＞0）分別交x軸，直線y=x和y=2x于點(diǎn)P、M、N時，有

MN

PM

=1．
圖2：小蘇：若直線x=m（m＞0）分別交x軸，直線y=

2

x

（x＞0）和y=

3

x

（x＞0）于點(diǎn)P、M、N時，有

MN

PM

=…
問題解決

（1）填空：圖2中，小蘇發(fā)現(xiàn)的

MN

PM

=

 

；
（2）若記圖1，圖2中MN為d₁，d₂，分別求出d₁，d₂與m之間的函數(shù)關(guān)系式．并指出函數(shù)的增減性；
（3）如圖3，直線x=m（m＞0）分別交x軸，拋物線y=x²-4x和y=x²-3x于點(diǎn)P，M，N，設(shè)A，B為拋物線y=x²-4x，y=x²-3x與x軸的非原點(diǎn)交點(diǎn)．當(dāng)m為何值時，線段OP，PM，PN，MN中有三條能圍成等邊三角形？并直接寫出此時點(diǎn)A，B，M，N圍成的圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）把當(dāng)x=m分別代入反比例函數(shù)的解析式，求出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)和N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的長，則

MN

PM

值可求出；
（2）當(dāng)x=m時，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2m，進(jìn)而求出MN的長，d₁可求，同理可求出d₂，利用反比例函數(shù)的增減性即可做出判斷；
（3）由函數(shù)的解析式分別求出PM，PN，MN的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等即可求出m的值，利用梯形的性質(zhì)即可求出其面積．

解答：解：（1）當(dāng)x=m時，
則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2

m

，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

3

m

，
所以MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
∴

MN

PM

=

1

2

，
故答案為：

1

2

；
（2）當(dāng)x=m時，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2m，
∴MN=2m-m=m，
即d₁=m，
當(dāng)x=m時，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2

m

，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

3

m

，
∴MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
∴d₂=

1

m

，
∵m＞0，
∴函數(shù)d₂為m為減函數(shù)；
（3）∵OP=m，PM=|4m-m²|=m|4-m|，PN=|3m-m²|=m|3-m|，MN=|m|，
由題意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5，或m=3（不合題意），或m=4（不合題意），或m=2，
當(dāng)m=2時，S=3；當(dāng)m=5時，S=7.5．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的各種性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和梯形的面積公式的，題目的綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的解題能力要求很高．