Question

1．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE∥AC，且DE=$\frac{1}{2}$AC，連接CE、OE，連接AE，交OD于點(diǎn)F．若AB=2，∠ABC=60°，則AE的長為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°，證明四邊形OCED是矩形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=AB，再根據(jù)勾股定理得出AE的長度即可．

解答 解：在菱形ABCD中，OC=$\frac{1}{2}$AC，AC⊥BD，
∴DE=OC，
∵DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴平行四邊形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA=$\frac{1}{2}$AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$；
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明四邊形是矩形是解決問題的關(guān)鍵．