Question

在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EG⊥CG．

（1）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．

（2）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

解：（1） EG=CG，EG⊥CG．        （2分）

（2）EG=CG，EG⊥CG．             （2分）

證明：延長(zhǎng)FE交DC延長(zhǎng)線于M，連MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，

∴四邊形BEMC是矩形．

∴BE=CM，∠EMC=90°，

又∵BE=EF，

∴EF=CM．

∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG，

∴MG=FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，

∴EM=CD．

∵EF=CM，

∴FM=DM，

∴∠F=45°．

又FG=DG，

∠CMG=∠EMC=45°，

∴∠F=∠GMC．

∴△GFE≌△GMC．

∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．          （2分）

∵∠FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG，

∴MG⊥FD，

∴∠FGE+∠EGM=90°，

∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．                     （2分）