Question

【題目】如圖，在 中，，F是 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，， 于點(diǎn) D，交 BC 于點(diǎn)E．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，若點(diǎn) 是 邊的中點(diǎn)，求 的度數(shù)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接 ，作 ，交 于點(diǎn)G，若 ，．求 的面積

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）67.5°;（3）.

【解析】

（1）先證明三角形全等，利用全等性質(zhì)即可解出此題

（2）連接CF，得出等腰Rt△BCF，由此得出角度關(guān)系，根據(jù)D又是中點(diǎn)DF⊥AC可以得出△AFC為等腰三角形，則DF就為角平分線，因此可以得出角度關(guān)系，聯(lián)合求解即可.

（3）先證出△BCD≌△BFG，再證出△ABC≌△EBF，從而得出BEG和BEF的關(guān)系即可.

（1）證明：

∵FD⊥AC

∴∠ADF=90°

∵∠ABC=90°

∴∠ADF=∠ABC=∠EBF

∵∠C+∠A=∠F+∠A=90°

∴∠C=∠F

在△ABC和△EBF中

∴△ABC≌△EBF

∴AC=EF

（2）

連接CF

∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)

∴AD=CD

∵FD⊥AC

∴∠ADF=∠CDF=90°

在△ADF和△CDF中

∴△ADF≌△CDF

∴∠AFD=∠CFD

∵BF=BC，BC⊥BF

∴△BCF是等腰直角三角形

∴∠BFC=∠BCF=∠AFD+∠CFD=45°

∴∠AFD=∠CFD=22.5°

∴∠A=90°－∠AFD=90°－22.5°=67.5°

（3）∵BG⊥BD

∴∠DBG=90°

∴∠DBC+∠EBG=∠FBG+∠EBG=90°

∴∠DBC=∠FBG

在△BCD和△BFG中

∴△BCD≌△BFG

∴CD=FG

∵CD=AD，AC=EF

∴FG=EG

∵△ABC≌△EBF

∴AB=BE=1

∴BF=BC=BE+CE=1+

∴