Question

12．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交BC于點(diǎn)F，連接EF．
（1）求證：四邊形BFDE是菱形；
（2）若AB=8，AD=4，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）易證四邊形BFDE是平行四邊形，再結(jié)合已知條件證明鄰邊EB=ED即可得到平行四邊形BFDE是菱形；
（2）設(shè)BF=x，所以可得DE=BE=x，AE=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE²=DE²+AD²，求出x的值即可．

解答 （1）證明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四邊形BFDE是平行四邊形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE∥BC，
∴∠CBD=∠EDB．
∴∠ABD=∠EDB．
∴EB=ED．
∴平行四邊形BFDE是菱形；
（2）解：∵ED∥BF，∠C=90°，
∴∠ADE=90°．
設(shè)BF=x，
∴DE=BE=x．
∴AE=8-x．
在Rt△ADE中，AE²=DE²+AD²
∴（8-x）²=x²+4²
解得x=3，
∴BF=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟記菱形的各種判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．