Question

已知二次函數(shù)y=-

1

4

x²+

3

2

x+4的圖象與y軸交于點A，交x軸于點B、C（點B在點C的右邊），連接AC、AB．
（1）求△ABC的面積；
（2）過點A作直線a交線段BC于點D，點B、C到直線a的距離分別為d₁、d₂，求d₁+d₂的最大值和最小值（當點D與點B重合時，我們認為S_△ABC=0）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令x=0求出點A的坐標，令y=0，解方程求出點B、C的坐標，然后求出BC的長度，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解；
（2）過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥AD于F，根據(jù)垂線段最短可得CE＜CD，BF＜BD，從而得到CE+BF＜CD+BD，然后判斷出D與O重合時，CE+BF=CD+BD最大，根據(jù)△ABC的面積判斷出D、B重合時，CE+BF等于AB邊上的高時最�。�

解答：解：（1）令x=0則y=4，
令y=0則-

1

4

x²+

3

2

x+4=0，
整理得，x²-6x-16=0，
解得x₁=-2，x₂=8，
所以，A（0，4），B（-2，0），C（8，0），
所以，OA=4，BC=8-（-2）=10，
△ABC的面積=

1

2

×10×4=20；

（2）如圖，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥AD于F，
由垂線段最短得，CE＜CD，BF＜BD，
所以，CE+BF＜CD+BD，
所以，D與O重合時，CE+BF=CD+BD最大，
d₁+d₂的最大值=BC=10；
∵S_△ABC=

1

2

CE•AD+

1

2

BF•AD=

1

2

AD•（CE+BF）=

1

2

AD•（d₁+d₂），
∵AC＜AB，
∴當點D、B重合時，d₁+d₂等于AB邊上的高，最小，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

42+82

=4

5

，
此時，

1

2

×4

5

（d₁+d₂）=20，
解得d₁+d₂=2

5

，
綜上所述，d₁+d₂的最大值是10，最小值是2

5

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)與坐標軸的交點的求解方法，垂線段最短的性質(zhì)，三角形的面積，難點在于（2）確定出d₁+d₂的最大值和最小值時的情況．