Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足點為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）如果P點的坐標為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取到最大值時，過點P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為點P′，求出P′的坐標，并判斷P′是否在該拋物線上．

 

 

Answer 1

（1），（﹣1，4）；（2）（﹣3＜x＜﹣1），；（3）（，），點P′不在該拋物線上．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，可設交點式，將點C的坐標代入求得a，b，c，進而得解析式，化為項點式可求頂點D．

（2）由P在AD上，則可求AD解析式表示P點．由，所以S可表示，進而由函數(shù)最值性質易得S最值．

（3）由最值時，P（，3），則E與C重合．畫示意圖，P'過作P'M⊥y軸，設邊長通過解直角三角形可求各邊長度，進而得P'坐標．判斷P′是否在該拋物線上，將xP'坐標代入解析式，判斷是否為yP'即可．

試題解析：【解析】
（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，

∴可設拋物線解析式為．

∵點C（0，3）在拋物線，∴，解得．

∴拋物線的函數(shù)解析式為：，即．

∵

∴拋物線頂點坐標D為（﹣1，4）．

（2）設直線AD為解析式為，

∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴ ，解得．

∴直線AD解析式：y=2x+6．

∵P在AD上，∴P（x，2x+6），

∴（﹣3＜x＜﹣1）．

∵，

當時，S取最大值．

（3）如圖，設P′F與y軸交于點N，過P′作P′M⊥y軸于點M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=．

∵PF∥y軸，∴∠PFE=∠FEN．

∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE．

∴EN=FN．

設EN=m，則FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，∵，∴m=．

∵，

∴，解得．

在Rt△EMP′中，∵，∴OM=EO﹣EM=．

∴P′（，）．

∵當x=時，，

∴點P′不在該拋物線上．

考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．折疊問題；3．待定系數(shù)法的應用；3．曲線上點的坐標與方程的關系；4．二次函數(shù)的性質；5．由實際問題列函數(shù)關系式；6．折疊對稱的性質；7．勾股定理．