Question

（2008•廣安）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，-5）和（-2，4）
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)此拋物線與直線y=x相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），平行于y軸的直線x=m（0＜m＜+1）與拋物線交于點(diǎn)M，與直線y=x交于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)P，求線段MN的長（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面積S最大？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)B是y=x與y=x²-2x-4的交點(diǎn)，根據(jù)題意可求得N，M的坐標(biāo)，則可表示出MN的長，通過縱坐標(biāo)的絕對值的和求得；
（3）把△BOM分成兩個△OMN與△BMN，把MN作為兩個三角形的底，通過點(diǎn)B，P的縱坐標(biāo)表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積．
解答：解：（1）由題意把點(diǎn)（1，-5）、（-2，4）代入y=x²+bx+c得：
，
解得b=-2，c=-4，（3分）
∴此拋物線解析式為：y=x²-2x-4；

（2）由題意得：，
∴x²-3x-4=0，
解得：x=4或x=-1（舍），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），
將x=m代入y=x條件得y=m，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m），
同理點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m²-2m-4），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），
∴PN=|m|，MP=|m²-2m-4|，
∵0＜m＜+1，
∴MN=PN+MP=-m²+3m+4；

（3）作BC⊥MN于點(diǎn)C，
則BC=4-m，OP=m，
S=MN•OP+MN•BC，
=2（-m²+3m+4），
=-2（m-）²+12，（11分）
∵-2＜0，
∴當(dāng)m-=0，則m=時，S有最大值．
點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要注意將三角形分解成兩個三角形求解；
還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)．