Question

4．如圖，在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，CE⊥BD于E．
（1）若BD平分∠ABC，求證：BD=2CE．
（2）若D為AC上的-動(dòng)點(diǎn)，∠AEB大小如何變化？

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)CE交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證△BEF≌△BEC得FC=2CE，由∠BAC=∠BEF=90°知∠FCA=∠DBA，再證△CAF≌△BAD得BD=FC即可；
（2）證△ABH≌△ACG可得AH=AG，根據(jù)AH⊥BE、AG⊥EF知EA平分∠BEF，可得∠AEB=$\frac{1}{2}$∠BEF．

解答 解：（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)CE交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE，
又∵CE⊥BD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BEF和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEC（ASA），
∴FC=2CE，
∵∠BAC=∠BEF=90°，
∴∠F+∠FCA=∠F+∠DBA=90°，
∴∠FCA=∠DBA，
在△CAF和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCA=∠DBA}\\{CA=BA}\\{∠FAC=∠DAB=90°}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△BAD（ASA），
∴BD=FC，
又∵FC=2CE，
∴BD=2CE；
（2）∠AEB=45°，
如圖2，

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE、AG⊥EF，垂足分別為點(diǎn)H、G，
∴∠BHA=∠CGA=90°，
由（1）知，△CAF≌△BAD，
∴∠ABH=∠ACG，
在△ABH和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠ACG}\\{∠BHA=∠CGA}\\{BA=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACG（AAS），
∴AH=AG，
又∵AH⊥BE、AG⊥EF，且∠BEF=90°，
∴EA平分∠BEF，即∠AEB=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用能力，先構(gòu)造一對(duì)全等三角形為另一對(duì)三角形的全等創(chuàng)造條件是關(guān)鍵．