Question

△ABC是直角三角形，其中∠ACB=90°，AB=13，BC=12，AC=5，把△ABC繞A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB₁C₁，此時∠BAB₁=∠CAC₁=90°，求線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的周長、面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),弧長的計(jì)算,扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：畫出幾何圖形，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑的弧交AB于E，交AB₁于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得B₁C₁=BC=12，∠BAB₁=∠CAC₁=90°，△ABC≌△AB₁C₁，再利用弧長公式計(jì)算出弧CC₁的長度為

5

2

π，弧BB₁的長度為

13

2

π，所以線段BC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的周長=CB+弧BB₁的長+B₁C₁+弧CC₁的長=24+9π；由于△ABC≌△AB₁C₁，則∠BAC=∠B₁AC₁，所以S_扇形CAE=S_扇形C1AF，然后利用扇形面積公式和線段BC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的面積=S_扇形BAB1-S_扇形EAF進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑的弧交AB于E，交AB₁于F，如圖，
∵△ABC繞A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB₁C₁，
∴B₁C₁=BC=12，∠BAB₁=∠CAC₁=90°，△ABC≌△AB₁C₁，
∴弧CC₁的長度=

90•π•5

180

=

5

2

π，弧BB₁的長度=

90•π•13

180

=

13

2

π，
∴線段BC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的周長=CB+弧BB₁的長+B₁C₁+弧CC₁的長
=12+

13

2

π+12+

5

2

π
=24+9π；
∵△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，
∴S_扇形CAE=S_扇形C1AF，
∴線段BC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的面積=S_扇形BAB1-S_扇形EAF
=

90•π•132

360

-

90•π•52

360

=36π．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了弧長公式和扇形的面積公式，會利用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．