Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1．長(zhǎng)始終為

2

的線段PQ的一個(gè)端點(diǎn)Q在⊙O上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)P也隨之在x軸的負(fù)半軸上移動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：
（1）當(dāng)線段PQ所在的直線與⊙O相切時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠OPQ最大時(shí)，求直線PQ的解析式；
（3）當(dāng)∠OPQ=30°時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）依題意，連接OQ，則OQ⊥QP．利用勾股定理求出OP，繼而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠OPQ最大時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到⊙O與y軸交點(diǎn)，利用勾股定理求出OP的值繼而求出坐標(biāo)P，Q．然后可求出直線PQ的解析式；
（3）依題意連接OQ，作QM⊥OP．在Rt△QPM中，PQ=

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，∠OPQ=30°，可求出QM的值，又因?yàn)樵赗t△QOM中OM=

2

2

，可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（本題12分）
（1）當(dāng)線段PQ所在的直線與⊙O相切時(shí)，連接OQ，則OQ⊥QP，（1分）
在Rt△OPQ中，PQ=

2

，OQ=1，則OP=

3

，（2分）
所以點(diǎn)P（-

3

，0）；（3分）

（2）當(dāng)∠OPQ最大時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到⊙O與y軸交點(diǎn)，（4分）
在Rt△OPQ中，PQ=

2

，OQ=1，則OP=1，
所以點(diǎn)P（-1，0），點(diǎn)Q（0，1）或（0，-1），
所以直線PQ的解析式為y=x+1或y=-x-1；（8分）

（3）當(dāng)∠OPQ=30°時(shí)，連接OQ，作QM⊥OP于點(diǎn)M，
在Rt△QPM中，PQ=

2

，∠OPQ=30°，則QM=

2

2

，
在Rt△QOM中，OM=

2

2

，
所以點(diǎn)Q₁（-

2

2

，

2

2

）；Q₂（-

2

2

，-

2

2

）；Q₃（

2

2

，

2

2

）；Q₄（

2

2

，-

2

2

）．    （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合的是切線的性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，難度中等．