Question

18．如圖，已知矩形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，4），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形對(duì)角線的交點(diǎn)E，且與BC邊交于點(diǎn)D．
（1）①求反比例函數(shù)的解析式與點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②直接寫出△ODE的面積；
（2）若P是OA上的動(dòng)點(diǎn)，求使得“PD+PE之和最小”時(shí)的直線PE的解析式．

Answer 1

分析 （1）①連接OE，則O、E、B三點(diǎn)共線，則E是OB的中點(diǎn)，即可求得E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)；
②根據(jù)S_△ODE=S_△OBC-S_△OCD-S_△BDE即可求解；
（2）作E關(guān)于OA軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，則直線DE'就是所求的直線PE，利用待定系數(shù)法即可求解．

解答 解：（1）①連接OB，則O、E、B三點(diǎn)共線．
∵B的坐標(biāo)是（6，4），E是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴E的坐標(biāo)是（3，2），
∴k=3×2=6，
則函數(shù)的解析式是y=$\frac{6}{x}$．
當(dāng)y=4時(shí)，x=1.5，即D的坐標(biāo)是（1.5，4）；
②S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OC=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{1}{2}$×4×1.5=3，
S_△BDE=$\frac{1}{2}$×（6-1.5）×2=4.5，
則S_△ODE=S_△OBC-S_△OCD-S_△BDE=12-3-3-4.5=4.5；
（2）作E關(guān)于OA軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，則E'的坐標(biāo)是（3，-2）．
連接E'D，與x軸交點(diǎn)是P，此時(shí)PO+PE最�。�
設(shè)y=mx+n，把E'和D的坐標(biāo)代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-2=3m+n}\\{4=1.5m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=10}\end{array}\right.$，
則直線DE'的解析式是y=-4x+10．
令y=0，則-4x+10=0，解得x=$\frac{5}{2}$，則P的坐標(biāo)是（$\frac{5}{2}$，0）．
設(shè)PE的解析式是y=ax+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}a+b=0}\\{3a+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
則直線PE的解析式是y=4x-10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及圖形的對(duì)稱，求得函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．