Question

2．如圖，已知菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°．E是BC邊上一動點，F(xiàn)是CD邊上一動點，且BE=CF，連接AE、AF．
（1）∠EAF的度數(shù)是60°；
（2）求證：AE=AF；
（3）延長AF交BC的延長線于點G，連接EF，設(shè)BE=x，EF²=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=BC=6，推出△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，得到∠ACF=60°，推出△ABE≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由（1）證得△ABE≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）由（2）得AE=AF，△ABE≌△ACF，由全等三角形的性質(zhì)得到∠CAF=∠BAE，推出△AEF是等邊三角形，得到∠AFE=60°，通過△ECF∽△EFG，得到$\frac{EF}{EG}=\frac{EC}{EF}$，求得EF²=EC•EG，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{CF}{AB}=\frac{CG}{BG}$，得到CG=$\frac{6x}{6-x}$，根據(jù)EF²=EC•EG，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：如圖1，連接AC，在菱形ABCD中，
∵AB=BC=6，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ACF=60°，
在△ABE與△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACF=60°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠CAF=∠BAE，
∵∠BAE+∠CAE=60°，
∴∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠EAF=60°，
故答案為：60°；

（2）證明：由（1）證得△ABE≌△ACF，
∴AE=AF；

（3）解：
由（2）得AE=AF，△ABE≌△ACF，
∴∠CAF=∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴∠AFE=60°，
∴∠EFG=180-∠AFE=120°，
∵∠BCD=120°=∠EFG，∠CEF=∠FEG，
∴△ECF∽△EFG，
∴$\frac{EF}{EG}=\frac{EC}{EF}$，∴EF²=EC•EG，
∵AB∥CD，∴$\frac{CF}{AB}=\frac{CG}{BG}$，
∴$\frac{x}{6}=\frac{CG}{CG+6}$，
∴CG=$\frac{6x}{6-x}$，
∴EG=CE+CG=6-x+$\frac{6x}{6-x}$，
∵EF²=EC•EG，
∴y=（6-x）（6-x+$\frac{6x}{6-x}$）=x²-6x+36．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．