Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（-

7

2

，0）、B（

1

2

，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，

7

4

）
（1）求拋物線的解析式，并求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在y軸的負(fù)半軸上是否存在以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）取點(diǎn)E（

3

2

，0），F(xiàn)（0，

3

4

），直線l經(jīng)過E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)G是線段AD的中點(diǎn)①點(diǎn)G是否在直線l上？請(qǐng)說明理由；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，所以設(shè)該拋物線的解析式為y=a（x+

7

2

）（x-

1

2

）（a≠0），然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求a的值即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長．因?yàn)椤螦OC=∠BOP=90°，所以只有△BOP∽△AOC和△POB∽△AOC兩種情況．利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OP的長，從而得解；
（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗(yàn)證即可；
②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是B，從而判斷出點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)，再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點(diǎn)M．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（-

7

2

，0）、B（

1

2

，0），
∴設(shè)該拋物線的解析式為y=a（x+

7

2

）（x-

1

2

）（a≠0），
把C（0，

7

4

）代入，得

7

4

=-

7

4

a，
解得，a=-1，
∴該拋物線的解析式為y=-（x+

7

2

）（x-

1

2

）=-（x+

3

2

）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-

3

2

，4）．
綜上所述，拋物線的解析式是y=-（x+

7

2

）（x-

1

2

）（或y=-（x+

3

2

）²+4），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-

3

2

，4）；

（2）如圖1，在y軸負(fù)半軸上存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，t）（t＜0），
∵A（-

7

2

，0）、B（

1

2

，0），C（0，

7

4

），
∴OA=

7

2

，OB=

1

2

，OC=

7

4

，OP=-t．
∵∠AOC=∠BOP=90°，
∴只有△BOP∽△AOC和△POB∽△AOC兩種情況．
①當(dāng)△BOP∽△AOC時(shí)，

OB

OA

=

OP

OC

，即

1 2

7 2

=

-t

7 4

，解得t=-

1

4

，則此時(shí)P（0，-

1

4

）；
②當(dāng)△POB∽△AOC時(shí)，

OB

OC

=

OP

OA

，即

1 2

7 4

=

-t

7 2

，解得t=-1，則此時(shí)P（0，-1）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-

1

4

）或P（0，-1）；

（3）如圖2，①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)E（

3

2

，0），F(xiàn)（0，

3

4

），則

3 2 k+b=0 b= 3 4

，
解得，

k=- 1 2 b= 3 4

，
則直線l的解析式為：y=-

1

2

x+

3

4

．
∵A（-

7

2

，0）、D（-

3

2

，4），
∴線段AD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)是（-

5

2

，2），
當(dāng)x=-

5

2

時(shí)，y=-

1

2

×（-

5

2

）+

3

4

=2，即點(diǎn)G（-

5

2

，2）在直線l上；
②在拋物線上存在符合條件的點(diǎn)M．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-

3

2

，0），
∵E（

3

2

，0），A（-

7

2

，0）、D（-

3

2

，4），
∴AE=DE，
又∵點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，
∴直線l是線段BD的垂直平分線，
∴點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)B，
∴點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)，
易求直線DE的解析式為：y=-

4

3

x+2．
則

y=- 1 2 (x+ 3 2 )2+4 y=- 4 3 x+2

，
解得

x1=- 3 2 y1=4

，

x2=- 1 6 y2= 20 9

，
則符合條件的點(diǎn)M有2個(gè)，它們的坐標(biāo)分別是（-

3

2

，4）、（-

1

6

，

20

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，求頂點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，點(diǎn)在直線上的驗(yàn)證，相似三角形的判定與性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（2）要根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的不同分情況討論，（3）求出直線l是線段BD的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．