Question

如圖，已知拋物線y=ax²﹣5ax+2（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線BC的解析式；

（3）若點(diǎn)N是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點(diǎn)的三角形是否能夠與△OBC相似（排除全等的情況）？若能，請求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線y=ax²﹣5ax+2（a≠0）求得拋物線的解析式即可；

（2）求出拋物線的對(duì)稱軸，再求得點(diǎn)B、C坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，再把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，求得k和b即可；

（3）設(shè)N（x，ax²﹣5ax+2），分兩種情況討論：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根據(jù)相似，得出比例式，再分別求得點(diǎn)N坐標(biāo)即可．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線y=ax²﹣5ax+2（a≠0）上，

∴a﹣5a+2=0，

∴a=，

∴拋物線的解析式為y=x²﹣x+2；

（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，

∴點(diǎn)B（4，0），C（0，2），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∴把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，得

，

解得k=﹣，b=2，

∴直線BC的解析式y(tǒng)=﹣x+2；

（3）設(shè)N（x， x²﹣x+2），分三種情況討論：

①當(dāng)△OBC∽△HNB時(shí)，如圖1，

=，

即=，

解得x₁=5，x₂=4（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)N坐標(biāo)（5，2）；

②當(dāng)△OBC∽△HBN時(shí)，如圖2，

=，

即=﹣，

解得x₁=2，x₂=4（不合題意舍去），

∴點(diǎn)N坐標(biāo)（2，﹣1）；

③當(dāng)N（x， x²﹣x+2）在第二象限時(shí)，

H（x，0）在x軸的負(fù)半軸上，

∴BH=4﹣x，

∵△OBC∽△HNB，

∴，

即=，

得到x²﹣x﹣12=0

解得x₁=4（舍去）； x₂=﹣3，

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，14）

綜上所述，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，2）、（2，﹣1）或（﹣3，14）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，以及二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式的確定以及三角形的相似，解答本題需要較強(qiáng)的綜合作答能力，特別是作答（3）問時(shí)需要進(jìn)行分類，這是同學(xué)們?nèi)菀缀雎缘牡胤�，此題難度較大．