Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸相交于A，B，點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊，點(diǎn)P（1，m）（m＞0）在拋物線(xiàn)上，AB=2，tan∠PAB=

2

5

，
（1）求m的值；
（2）求二次函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）題目中給出了比例關(guān)系，只需要作出輔助線(xiàn)，利用直角三角形三角函數(shù)關(guān)系性質(zhì)建立等量關(guān)系，解出m的值．
（2）求出m的值以后，可以知此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A、P，利用這兩點(diǎn)結(jié)合原函數(shù)解出函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）令y=0，得：x²+bx+c=0，
根據(jù)韋達(dá)定理（設(shè)x₁＞x₂）得：x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，
∴AB²=（x₁-x₂）²=[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=b²-4c=4，
∴b²-4c=4①，
解方程x²+bx+c=0得：x=

-b± b2-4c

2

=

-b±2

2

，
x₁=

2-b

2

，x₂=

-2-b

2

，
∵P的橫坐標(biāo)為1，
∴m=1+b+c，
tan∠PAB=

1+b+c

1- -2-b 2

=

2

5

，
∴5c+4b+1=0②，
由①②得：b=

4

5

或b=-4，
由圖象得：a＞0，b＞0，c＜0，
∴b=

4

5

，
∴c=-

21

25

，
∴m=1+b+c=1+

4

5

-

21

25

=

24

25

；

（2）∴二次函數(shù)解析式為：y=x²+

4

5

x-

21

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與三角形性質(zhì)的結(jié)合，利用直角三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系，尋找解題的突破口．