Question

19．如圖，在等腰直角△AB中，∠BAC=90°，AB=AC，M是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，N在射線AC上（點(diǎn)N，A不重合），滿足MA=MN．
（1）如圖1，若∠AMN=45°，求證：BM=CN；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在射線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N隨之移動(dòng)，過N作BC的垂線角射線BC于D．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，試猜想線段MD與BC有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明
②當(dāng)點(diǎn)N在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，①的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的答案（不必證明）．
（3）若BC=8，設(shè)BM的長(zhǎng)為x，△MNC的面積為y，求y與x之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°，求得∠AMB=∠NMC，推出△ABM≌△CMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①如圖2，過A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AE=$\frac{1}{2}$BC，∠DNC=45°，證得∠AME=∠MND，推出△AME≌△MND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②過A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AE=$\frac{1}{2}$BC，∠DNC=45°，證得∠AME=∠MND，推出△AME≌△MND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠AMN=45°，
∴∠AMB=180°-45°-∠NMC，
∠CNM=180°-45°-∠NMC，
∴∠AMB=∠NMC，
在△ABM與△CNM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠AMB=∠CNM}\\{AM=MN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CMN，
∴BM=CN；

（2）①：如圖2，過A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∵ND⊥BC，
∵∠C=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=180°-∠DNC-∠ANM=135°-∠ANM，
∵∠AMC=∠B+∠BAM=45°+90°-∠MAN=135°-∠MAN，
∵AM=MN，
∴∠MAN=∠ANM，
∴∠AME=∠MND，
在△AME與△MDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠MDN=90°}\\{∠AME=∠MND}\\{AM=MN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△MND，
∴MD=AE=$\frac{1}{2}$BC；
②：①的結(jié)論仍然成立；
過A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∵ND⊥BC，
∵∠ACB=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=45°+∠ANM，
∵∠AMC=45°+∠MAN，
∵AM=MN，
∴∠MAN=∠ANM，
∴∠AME=∠MND，
在△AME與△MDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠MDN=90°}\\{∠AME=∠MND}\\{AM=MN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△MND，
∴MD=AE=$\frac{1}{2}$BC；
（3）∵BC=8，BM=x，
∴CM=8-x，或CM=x-8，
∵DN=CD，
∴DN=CM-DM=8-x-4=4-x，
∴y=$\frac{1}{2}$（8-x）（4-x）=-$\frac{1}{2}$x²-6x+16．或y=$\frac{1}{2}$（x-8）（4-x）=$\frac{1}{2}$x²+6x-16．

點(diǎn)評(píng) 不要看錯(cuò)了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．