Question

1．已知拋物線y=-x²+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
①求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D，求直線AD的解析式；（提示：已知直線l₁的解析式為y=k₁+b₁，直線l₂的解析式為y=k₂x+b₂，若l₁∥l₂，則k₁=k₂；若l₁⊥l₂，則k₁•k₂=-1）
③求四邊形ACBD的面積．

Answer 1

分析 （1）通過解方程-x²+2=0可得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-$\sqrt{2}$x+2，再利用AD∥BC設(shè)為y=-$\sqrt{2}$x+n，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出n即可得到直線AD的解析式；
（3）先通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2}\\{y=-\sqrt{2}x-2}\end{array}\right.$得D點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，-6），然后根據(jù)三角形面積公式，利用四邊形ACBD的面積=S_△ABC+S_△ABD進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2=0，解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，則A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+2=2，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（$\sqrt{2}$，0），C（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得k=-$\sqrt{2}$，b=2，
所以直線BC的解析式為y=-$\sqrt{2}$x+2，
∵AD∥BC，
∴直線AD的解析式可設(shè)為y=-$\sqrt{2}$x+n，
把A（-$\sqrt{2}$，0）代入得-$\sqrt{2}$×（-$\sqrt{2}$）+n=0，解得n=-2，
∴直線AD的解析式為y=-$\sqrt{2}$x-2；
（3）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2}\\{y=-\sqrt{2}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，-6），
∴四邊形ACBD的面積=S_△ABC+S_△ABD
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×6
=8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和通過解方程組求拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)．