Question

5．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半徑為$\sqrt{3}$的⊙M與射線BA相切，切點(diǎn)為N，且AN=3．將Rt△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E．此時(shí)Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系是相切．

Answer 1

分析 過(guò)M作AD的垂線，設(shè)垂足為H，然后證MH與⊙M半徑的大小關(guān)系即可；連接AM、MN，由于AE是⊙M的切線，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通過(guò)解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可證得AM是∠DAE的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到MH=MN，由此可證得⊙M與AD相切．

解答 解：AD與⊙M相切．理由如下
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠DAE=∠BAC=60°，
過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AD于H，連接MN，MA，則MN⊥AE，且MN=$\sqrt{3}$，
在Rt△AMN中，tan∠MAN=$\frac{MN}{AN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠MAN=30°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠MAN=∠MAD=30°，
∴MH=MN，
∴直線AD與⊙M相切．
故答案為：相切．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的判定方法、三角函數(shù)、角平分線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明MH=MN是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．